Studiul unui Paradox
Eleva Claudia se pregătește pentru admiterea la Facultatea de Matematică-Informatică cu
studenta Melisa și profesorul Radu.

Melisa propune spre vizualizare următorul paradox de probabilitate, iar în urma celor văzute Radu constată:
Raționamentul d.p.v. matematic este corect, fiecare copil poate fi născut într-un an (nebisect) într-una din cele 365 de zile.
Dacă alegem 23 de copii care să nu fie născuți în aceeași zi, numărul cazurilor favorabile este 365*364*...*343, iar numărul cazurilor posibile 365^23.
Acum, ca cel puțin 2 să fie născuți în aceeași zi, probabilitatea este P=1-(365*364*...*343)/(365^23)>1/2.

Problema poate fi reformulată:
De câte ori trebuie să extrag dintr-o urnă cu 365 de bile numerotate de la 1 la 365 (după extragere bila se pune la loc) astfel încât să obțin cu
o probabilitate mai mare de 0.5 ca cel puțin două bile extrase să aibă același număr?
Ne gândim la schema de probabilitate a lui Bernoulli cu bila revenită, iar ca inecuație formulăm: 1-[365*364*...*(365-n+1)]/(365^n)>0.5
și de aici găsim cel mai mic n posibil care verifică inecuația, n=23.

Caculele pot fi realizate cu un program ajutător de matematică (de exemplu Maple), iar parodoxul poate fi interpretat astfel:
Dacă se menționa ca bila extrasă prima oară să apară de cel puțin două ori atunci ar fi fost nevoie de 178 de extrageri pentru a asigura revenirea cu
o probabilitate de 0.5, însă cum nu se menționează care număr cu care să coincidă este nevoie de mai puține extrageri.

Profesorul propune o simulare a studiului d.p.v. informatic pentru ca eleva Claudia să constate veridicitatea acestuia.
Folosind forța brută (softul, aici PHP), se vor genera un număr mare (100, 500, 1000, 10000) de șiruri de numere aleatoare care conțin
23 de numere de la 1 la 365 și se va constata că în medie aproximativ unul din două șiruri va conține cel puțin o dublură.

La temă, propunem determinarea numărului minim de extrageri de bile revenite dintr-o urnă cu bile numerotate de la 1 la 30 care să asigure
cu o probabilitate de cel puțin 0.5 apariția unei dubluri, iar apoi simularea celor obținute matematic d.p.v. informatic.